Question

（2010•南京）如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG．
（1）設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）①E、A重合時，三角形EFG的底和高都等于正方形的邊長，由此可得到其面積；
②E、A不重合時；易證得△AEM≌△FDM，則EM=FM，由勾股定理易求得EM的長，即可得出EF的長；下面求MG的長，過M作MN⊥BC于N，則AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同為∠EMN的余角，由此可證得△AEM∽△NCM，根據相似三角形得到的關于AM、MN、EM、MC的比例關系式，即可求得MG的表達式，進而可由三角形的面積公式求出y、x的函數關系式；
（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時P點的位置（即P為A與E重合時得到的對應點，P′為E與B重合時的對應點），此時可發現PP′正好是△EGG′的中位線，則P點運動的距離為GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易證得∠MBG=∠GMG′，根據∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的邊長）的比例關系，由此得解．
解答：解：（1）當點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2
當點E與點A不重合時，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中
，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2ME=2
過M作MN⊥BC，垂足為N（如圖）
則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴=，即=
∴MG=2ME=2
∴y=EF×MG=×2×2=2x²+2
∴y=2x²+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如圖，PP′即為P點運動的距離；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG==2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分別是MG、MG′的中點，
∴PP′是△MGG′的中位線；
∴PP′=GG′=2；
即：點P運動路線的長為2．（8分）
點評：此題考查了正方形的性質，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質以及二次函數等知識；綜合性強，難度較大．