Question

【題目】拋物線F1：y＝ax2+bx﹣1（a＞1）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸于點C，已知點A的坐標為（﹣，0），

（1）直接寫出b＝　 　（用含a的代數式表示）；

（2）求點B的坐標；

（3）設拋物線F1的頂點為P1，將該拋物線平移后得到拋物線F2，拋物線F2的頂點P2滿足P1P2∥BC，并且拋物線F2過點B，

①設拋物線F2與直線BC的另一個交點為D，判斷線段BC與CD的數量關系（不需證明），并直接寫出點D的坐標；

②求出拋物線F2與y軸的交點縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1﹣a；（2）B（1，0）；（3）①CD＝2BC，D（2，1）；②c＞1．

【解析】

（1）將點A（﹣，0）的坐標代入拋物線表達式并整理得：b＝1﹣a，即可求解；

（2）拋物線的表達式為：y＝ax2+（1﹣a）x﹣1，令y＝0，則x＝1或﹣，故點B（1，0）；

（3）①根據平移的性質可得BC=P1P2＝BD，從而得出CD＝2BC；

②先令x＝0，則y＝-1，從而得出C點坐標，再根據BC＝BD，得出D點坐標，平移后的圖象過點B（1，0），點D（2，1），將點B、D的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2+b′x+c得：c＝2a-1即可求解．

解：（1）點A的坐標為（﹣，0），

將點A的坐標代入拋物線表達式并整理得：b＝1﹣a，

故答案為：1﹣a；

（2）拋物線的表達式為：y＝ax2+（1﹣a）x﹣1

令y＝0，則x＝1或﹣，

故點B（1，0）；

（3）①根據平移的性質可得BC=P1P2＝BD，所以CD＝2BC；

②對于y＝ax2+bx﹣1，令x＝0，則y=-1；則點C（0，-1）

因為點B是C、D的中點，B點坐標（1，0）由中點公式得：點D（2，1）；

設平移后拋物線表達式為：y＝ax2+b′x+c，圖象過點B（1，0），點D（2，1），

將點B、D的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2+b′x+c得：，

解得：c＝2a-1

因為a＞1，所以c＝2a-1＞1

拋物線F2與y軸的交點縱坐標的取值范圍為：c＞1．