Question

【題目】如圖，二次函數y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；
（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴ ，

解得 ，

∴y= x2﹣ x﹣4．

∴C（0，﹣4）

（2）

解：方法（1）：存在．

如圖1，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC= =5，

∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴ ，

∴ ，

∴QD= ，AD= ．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=| ﹣x|，

∴在Rt△EDQ中，（ ﹣x）2+（ ）2=x2，解得 x= ，

∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ，

∴E（﹣ ，0），

說明點E在x軸的負半軸上；

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，

∵ED=AD= ，

∴AE= ，

∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ，

∴E（﹣ ，0）．

③當AE=AQ=4時，

（i）．當E在A點左邊時，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

（ii）．當E在A點右邊時，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（7，0）

方法二：

∵點P、Q同時從A點出發，都已每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC運動．過點Q作x軸垂線，垂足為H．

∵A（3，0），C（0，4），

∴lAC：y= x﹣4，

∵點P運動到B點時，點Q停止運動，

∴AP=AQ=4，

∴QH= ，Qy=﹣ ，

代入LAC：y= x﹣4得，Qx= ，則Q（ ，﹣ ），

∵點E在x軸上，

∴設E（a，0），

∵A（3，0），Q（ ，﹣ ），△AEQ為等腰三角形，

∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，

∴（a﹣3）2=（a﹣ ）2+（0+ ）2，∴a=﹣ ，

（a﹣3）2=（3﹣ ）2+（0+ ）2，∴a1=7，a2=﹣1，

（a﹣ ）2+（0+ ）2=（3﹣ ）2+（0+ ）2，∴a1=﹣ ，a2=3（舍）

∴點E的坐標為（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（7，0）

（3）

解：方法（1）：四邊形APDQ為菱形，D點坐標為（﹣ ，﹣ ）．理由如下：

如圖2，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴ ，

∴ ，

∴AF= ，FQ= ，

∴Q（3﹣ ，﹣ ），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣ ﹣t，﹣ ），

∵D在二次函數y= x2﹣ x﹣4上，

∴﹣ = （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4，

∴t= ，或t=0（與A重合，舍去），

∴D（﹣ ，﹣ ）

方法二：

∵P，Q運動到t秒，

∴設P（3﹣t，0），Q（3﹣ t，﹣ t），

∴KPQ= ，KPQ=﹣2，

∵AD⊥PQ，

∴KPQKAD=﹣1，

∴KAD= span> ，

∵A（3，0），

∴lAD：y= x﹣ ，

∵y= ，

∴x1=3（舍），x2=﹣ ，

∴D（﹣ ，﹣ ），

∵DY=QY，即﹣ t=﹣ ，t= ，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此時四邊形APDQ的形狀為菱形．

【解析】（1）將A，B點坐標代入函數y= x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標．（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等等性質可用t表示D點坐標，又D在E函數上，所以代入即可求t，進而D可表示．