Question

【題目】某商店試銷一種新商品，該商品的進價為40元/件，經過一段時間的試銷發現，每月的銷售量會因售價在40～70元之間的調整而不同．當售價在40～50元時，每月銷售量都為60件；當售價在50～70元時，每月銷售量與售價的關系如圖所示，令每月銷售量為y件，售價為x元/件，每月的總利潤為Q元．
（1）當售價在50～70元時，求每月銷售量為y與x的函數關系式？
（2）當該商品售價x是多少元時，該商店每月獲利最大，最大利潤是多少元？
（3）若該商店每月采購這種新商品的進貨款不低于1760元，則該商品每月最大利潤為元．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=kx+b

由圖知：當x=50時，y=60；當x=70時，y=20．

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x+160（50≤x≤70）；

（2）解：由題可知，

當40≤x≤50時，Q=60（x﹣40）=60x﹣2400，

∵60＞0，

∴Q隨x的增大而增大，

∴x=50時，Q有最大值600元．

當50≤x≤70時，Q=y（x﹣40）=2x2+240x﹣6400=﹣2（x﹣60）2+800，

∵﹣2＜0，

∴x=60時，Q有最大值800元．

綜上所述，當該商品售價是60元時，該商店每月獲利最大，最大利潤是800元．

（3）792
【解析】解：（3）設采購的數量為m，則40m≥1760，解得m≥44， 由（1）知，若40≤x≤50，則利潤的最大值為600元；
若50≤x≤70，由﹣2x+160≥44可得x≤58，
∵Q=﹣2（x﹣60）2+800中x＜60時，Q隨x的增大而增大，
∴當x=58時，Q取得最大值，最大值為792，
故答案為：792．
（1）待定系數法求解可得；（2）分40≤x≤50和50≤x≤70兩種情況，根據總利潤=單件利潤×銷售量列出函數解析式，根據函數性質解答可得；（3）由進貨款求得進貨量的范圍，結合（2）中的函數解析式分類討論求解可得．