Question

如圖，在△ABC中，點D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，F是⊙O上的點，且AF=BF．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若sinC=，AE=，求sinF的值和AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明∠ABC=90°即可；
（2）如圖，連接BE，BF，構建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圓周角定理（同弧所對的圓周角相等）、等量代換以及切線的性質推知所求的∠F與已知∠C的數量關系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用銳角三角函數的定義可以求得sinF的值和AF的長．
解答：解：（1）證明：∵DA=DB（已知），
∴∠DAB=∠DBA（等邊對等角）；
又∵∠C=∠DBC（已知），
∴∠DBA﹢∠DBC=（∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC）=×180°=90°（三角形內角和定理），即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵點B在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BE，BF．
∵AB是⊙O的直徑（已知），
∴∠AEB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠EBC+∠C=90°（直角三角形的兩個銳角互余），
∵∠ABC=90°（由（1）知），
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠C=∠ABE（等量代換）；
又∵∠AFE=∠ABE（同弧所對的圓周角相等），
∴∠AFE=∠C（等量代換），
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC，
∴sin∠AFE=，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABE中，AB==5
∵AF=BF（已知），
∴AF=BF=5．
點評：本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理以及解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．