Question

已知△AOB，將△AOB繞O點旋轉到△COD位置，使C點落在OB邊上，連接AC、BD．
（1）若∠AOB=90°（如圖1），小亮發現∠BAC=∠BDC，請你證明這個結論；
（2）若∠AOB=60°（如圖2），小亮發現的結論是否仍然成立？說明理由；
（3）若∠AOB為任意角α（如圖3），小亮發現的結論還成立嗎？說明理由；

Answer 1

（1）證明：∵將△AOB繞O點旋轉到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∴∠BAC=∠BDC．

（2）仍成立，
理由是：將△AOB繞O點旋轉到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△ACO、△OBD是等邊三角形，
∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO=∠BAO-60°，∠BDC=∠DCO-∠DBO=∠DCO-60°，
∴∠BAC=∠BDC．

（3）仍成立，
理由是：將△AOB繞O點旋轉到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，
∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，
∴∠CAO=∠OBD，
∵∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∵∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BDC．
分析：（1）求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，根據等腰直角三角形求出∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根據∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO即可求出答案；
（2）求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，得出△ACO、△OBD是等邊三角形，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根據∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO求出即可；
（3）根據旋轉求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，求出∠CAO=∠OBD，根據∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO求出即可．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，三角形的內角和定理，等邊三角形的旋轉和判定，旋轉的性質等知識點的應用，主要培養了學生綜合運用性質進行推理的能力，此題具有一定的規律性，證明過程類似，本題是一道比較好的題目．