Question

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是內切圓，E，F，D分別為切點，則tan∠OBD=（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：首先根據切線的性質和切線長定理證得四邊形OECD是正方形，那么AC+BC-AB即為2R（⊙O的半徑R）的值，由此可得到OD、CD的值，進而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．
解答：解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切線，
∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；
易證得四邊形OECD是矩形，由OE=OD可證得四邊形OECD是正方形；
設OD=OE=CD=R，則：AC+BC-AB=AE+R+BD+R-AF-BF=2R，
即R=（AC+BC-AB）=1，
∴BD=BC-CD=3-1=2；
在Rt△OBD中，tan∠OBD==．
故選C．
點評：此題考查的是三角形的外切圓，切線長定理以及銳角三角形函數的定義，難度適中．