Question

如圖，點在⊙O的直徑AB交TP于P，若PA=18，PT=12，PB=8．
（1）求證：△PTB∽△PAT；
（2）求證：PT為⊙O的切線；
（3）在上是否存在一點C，使得BT²=8TC？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠P=∠P，
∵PT²=PA•PB，
∴．
∴△PTB∽△PAT．

（2）證明：連接OT，
∵PO²-PT²=OT²，
∴在△ABC中，∠PTO=90°．
∵T為⊙O上一點，
∴PT為⊙O的切線．
（3）在AT弧上存在一點C，使得BT²=8TC
證明：∵∠ABT 是△PBT的一個外角
∴∠ABT＞∠P
過點B作BC交AT弧于點C，使∠CBT=∠P
連OT，則OT⊥PT，
∴∠1+∠PTB=90°，
而∠1+∠2=90°，∠2=∠A，
∴∠PTB=∠A，
而∠A=∠C，
∴∠PTB=∠C，
∴△PBT∽△BTC
∴BT：TC=PB：BT
又∵PB=8，
∴BT²=8TC，即在AT弧上存在一點C，使得BT²=8TC．
分析：（1）根據題意有切割線定理易得，∠P為公共角；故可得△PTB∽△PAT；
（2）連接OT，根據勾股定理易得在△ABC中，∠PTO=90°；故PT為⊙O的切線；
（3）假設存在，根據題意推導可得．
點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定，及圓周角定理等知識點的綜合運用．