Question

（2000•寧波）如圖，圓內接四邊形ABCD的兩條對角線交于點P．已知AB=BC，CD=BD=1，設AD=x，用關于x的代數式表示PA與PC的積：PA•PC=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據相交弦定理，可得出PA•PC=BP•PD，那么可以轉換成用x表示出BP，PD，那么可用相似三角形來求解，由題意可得：CD=1，BD=2，利用已知條件可以證明△ADB∽△PDC，根據相似三角形的性質得到CD：BD=PD：AD，而BD=2CD，這樣就可以用x表示PD，BP，最后即可求出PA•PC與x的關系式．
解答：解：根據相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，
∵CD=1，BD=2
而AB=BC
∴
∴∠ADB=∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴△ADB∽△PDC
∴CD：BD=PD：AD
而BD=2CD
∴PD=x
∴BP=BD-PD=2-x
∴PA•PC=BP•PD=（2-x）×x=-x²+x．
點評：本題主要考查了相交弦定理，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質等知識點，根據相似三角形的性質求出相關的線段是解題的關鍵．