Question

已知如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC0為梯形，BC∥AO，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，0）。一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)也隨之停止．設(shè)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
（1）求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PB與AQ互相平分；
（3）連接PQ，設(shè)△PAQ的面積為S，探索S與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A、B、C三點(diǎn)，得
 
∴
∴；
（2）使得PB與AQ互相平分，故，
∴，
∴，，
，；
（3）由已知得AB=5，CB=1，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，∠OAB=θ，sinθ=，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為3，
∴綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值為。