Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于C點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點D．拋物線頂點為H．

（1）求拋物線的解析式．

（2）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在直線AD上是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）點P為直線AD上方拋物線的對稱軸上一動點，連接PA，PD．當S△PAD＝3，若在x軸上存在以動點Q，使PQ+QB最小，若存在，請直接寫出此時點Q的坐標及PQ+QB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）（3）（2.5，0）

【解析】

（1）把A（﹣1，0）和B（3，0），代入到拋物線的解析式，即可解答

（2）存在，分三種情況討論，①EF可由AC平移得到，C、E為對應點，A、F為對應點，再把F點代入直線AD的解析式為y＝x+，即可解答②如圖2所示，此時點F與點D重合，即可解答③如圖3所示，根據平移的規律，得知點F的橫坐標為﹣2，

代入解析式即可解答

（3）如圖4所示，過點B作AD的平行線交拋物線的對稱軸于點N，過點P作PH垂直于BN，與x軸的交點即為點Q，設直線BN的解析式為y＝x+b，過點B（3，0），求出BN的解析式，再利用解析式算出M,N的值，再算出PQ+QB＝PQ+QH，當P、Q、H三點共線時，PQ+QB最小，即為PH，即可解答

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0），

∴，

解得，，

∴拋物線的解析式為：；

（2）存在，分三種情況討論，

①如圖1所示，

∵四邊形ACEF為平行四邊形，

∴EF可由AC平移得到，C、E為對應點，A、F為對應點，

∵C（0，），點E的橫坐標為1，

∴向右平移了一個單位，

∵A（﹣1，0），

∴F的橫坐標為0，

∵直線AD的解析式為y＝x+，

∴當x＝0時，y＝，

∴F（0，）．

②如圖2所示，

此時點F與點D重合，

∴F（2，）．

③如圖3所示，

根據平移的規律，得知點F的橫坐標為﹣2，

當x＝﹣2時，y＝﹣，

∴F（﹣2，﹣）．

綜上所述：點F的坐標為（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）．

（3）如圖4所示，過點B作AD的平行線交拋物線的對稱軸于點N，過點P作PH垂直于BN，與x軸的交點即為點Q，

設直線BN的解析式為y＝x+b，過點B（3，0），

解得b＝﹣，

∴直線BN的解析式為y＝x﹣，

∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴N（1，﹣1），

設直線AD與拋物線的對稱軸的交點為點M，

∴M（1，1），

∵S△ADP＝PM（xD﹣xA）＝3，

∴PM＝2，

∴P（1，3），

∵tan∠ABN＝，

∴QB＝QH，

∴PQ+QB＝PQ+QH，

span>∴當P、Q、H三點共線時，PQ+QB最小，即為PH，

∵PN＝4，∠NPH＝∠ABN，

∴PH＝．

∴PQ+QB的最小值為，

此時點Q（2.5，0）．