Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（-2，0），點B坐標為（0，2），點E為線段AB上的動點（點E不與點A，B重合），以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段0B于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A，C兩點．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）在（3）的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為（1）中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2+1）倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）利用三角形外角性質，易證∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；
（4）本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標，要點是將△EPF與△EDG的面積之比轉化為線段之比．如圖④所示，首先證明點E為DF的中點，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉化為PE：NE；過點P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長度，從而求得點P的縱坐標；最后解一元二次方程，確定點P的坐標．
解答：解：（1）如圖①，∵A（-2，0）B（0，2）
∴OA=OB=2，
∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8
∴AB=2，
∵OC=AB
∴OC=2，即C（0，2）
又∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A、C兩點
則可得，
解得．
∴拋物線的表達式為y=-x²-x+2．

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE．

（3）當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論
①當OE=OF時，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時點E與點A重合，不符合題意，此種情況不成立．
②如圖2，當FE=FO時，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由（2）可知，∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
EF=BF=OB=×2=1 
∴E（-1，1）
③如圖③，當EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H
在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF，
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×=
∴OH=OB-BH=2-∴E（-，2-）
綜上所述，當△EOF為等腰三角形時，所求E點坐標為E（-1，1）或E（-，2-）．

（4）假設存在這樣的點P．
當直線EF與x軸有交點時，由（3）知，此時E（-，2-）．
如圖④所示，過點E作EH⊥y軸于點H，則OH=FH=2-．
由OE=EF，易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點，即DE=EF，
過點F作FN∥x軸，交PG于點N．
易證△EDG≌△EFN，因此S_△EFN=S_△EDG，
依題意，可得
S_△EPF=（2+1）S_△EDG=（2+1）S_△EFN，
∴PE：NE=（2+1）：1．
過點P作PM⊥x軸于點M，分別交FN、EH于點S、T，則ST=TM=2-．
∵FN∥EH，
∴PT：ST=PE：NE=2+1，
∴PT=（2+1）•ST=（2+1）（2-）=3-2；
∴PM=PT+TM=2，即點P的縱坐標為2，
∴-x²-x+2=2，
解得x₁=0，x₂=-1，
∴P點坐標為（0，2）或（-1，2）．
綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2+1）倍；
點P的坐標為（0，2）或（-1，2）．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質等重要的知識點，難度較大．第（2）問注意分類討論思想的應用，注意不要漏解；第（3）問中，將三角形面積之比轉化為線段之比，這是解題的重要技巧，也是本題的難點．