Question

如圖，已知拋物線經過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x＝2與x軸交于點C，直線y＝2x＋1經過拋物線上一點B(m，－3)，且與y軸、直線x＝2分別交于點D，E．

(1)求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)求證：CD⊥BE；

(3)在對稱軸x＝2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵已知拋物線的對稱軸為， 　　∴設拋物線的解析式為， 　　又∵直線經過點B()， 　　∴，解得，， 　　∴點B()， 　　又∵二次函數的圖象經過0(0，0) 　　B()， 　　 　　解得， 　　∴拋物線的解析式為． 　　(2)由題意解方程組，得 　　∴點E的坐標為(2，5)，∴CE＝5． 　　過點B作BF垂直于軸于F， 　　作BH垂直于直線于H，交軸于點Q， 　　∵點B()，D(0，1)， 　　∴BF＝3，BH＝4，CH＝BF＝3，OD＝1，EH＝8，DQ＝4． 　　在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中 　　有勾股定理得BE＝，BD＝，BC＝ 　　∴BD＝BE 　　又∵EC＝5，∴BC＝CE，∴CD⊥BE． 　　(3)結論：存在點P，使△PBE是直角三角形． 　　①當∠BPE＝90°時，點P與(2)中的點H重合， 　　∴此時點P的坐標為； 　　延長BH與過點A(4，0)且與軸垂直的直線交于M， 　　則 　　②當∠EBP＝90°時，設點P(2，)， 　　∵E(2，5)，H(2，)，B()， 　　∴BH＝4，EH＝8，PH＝． 　　在Rt△PBE中，BH⊥PE， 　　可證得△BHP∽△EHB， 　　，即， 　　解得， 　　此時點P的坐標為． 　　過點P與軸平行的直線與FB的延長線交于點N， 　　則 　　綜合①，②知點P的坐標為，△PAB的面積為6；或點P的坐標為，△PAB的面積為12．