Question

用兩種方法證明等腰梯形判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（要求：畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．

Answer 1

已知：梯形ABCD中，∠D=∠C，AB∥DC，
求證：梯形ABCD是等腰梯形．
證明：
證法一：如圖，分別過點A、B作AE⊥DC于點E，BF⊥DC于點F，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴∠AED=∠BFC=90°，AE∥BF，
∵AB∥DC，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴AE=BF．
∵∠D=∠C，
∴△ADE≌△BCF．
∴AD=BC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．

證法二：過點B作BE∥AD，
∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD=BE．
∵BE∥AD，
∴∠D=∠BEC．
∵∠D=∠C，
∴∠BEC=∠C．
∴BE=BC．
∴BC=AD．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
分析：第一種方法：分別過點A、B作AE⊥DC于點E，BF⊥DC于點F，由已知可得四邊形ABFE是矩形，從而得到AE=BF，已知有兩組角相等，則利用AAS判定△ADE≌△BCF，從而得到AD=BC，即推出了梯形ABCD是等腰梯形；
第二種方法：過點B作BE∥AD，根據已知可得到四邊形ABED是平行四邊形，從而得到AD=BE，又因為BE∥AD，∠D=∠C，從而可得到BE=BC=AD，從而推出了梯形ABCD是等腰梯形．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形判定定理的理解及掌握，此題的關鍵是輔助線的添加．