Question

如圖，在直角坐標系中，點的坐標為，點在直線上運動，點、、分別為、、的中點，其中是大于零的常數.
（1）請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；
（2）試求四邊形的面積與的關系式；
（3）設直線與軸交于點，問：四邊形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，說明理由.

Answer 1

解：（1）四邊形是平行四邊形.  
證明：∵、分別是、的中點
∴∥                        
同理，∥
∴四邊形是平行四邊形   
（2）解法一：    
由（1）得：∥ 
∴∽
∴  ∴
同理     
∴， 即 
解法二：連結，
=  
∵、分別是、的中點
∴        
同理                  
∴， 即
（3）解法一：以為圓心，長為直徑的圓記為⊙，
① 當直線與⊙相切或相交時，若點是交點或切點，則，
由（1）知，四邊形是矩形.           
此時0＜，＞0，可得∽
故 即  
在中， ∴ ∴，
解得     
② 當直線與⊙相離時，，
∴四邊形不是矩形，此時＞4，
∴當＞4時，四邊形不是矩形
綜上所述：當0＜，四邊形是矩形，這時；當＞4時，四邊形不是矩形.
解法二：由（1）知：當時，四邊形是矩形，
此時∽.
∴， 即       
又， ，
∴        
∴
① 當時，解得，這時四邊形是矩形.
② 當時，不存在，這時四邊形不是矩形. 
解法三：如圖，過點作于點,

在中，
在中，
在中，當時，，
則四邊形是矩形.
所以
化簡得：
配方得： 

（1）四邊形DEFB是平行四邊形．利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形；
（2）根據DE、EF為△OAB的中位線可知，S△AEF=S△ODE=1/4S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S與b的關系式；
（3）當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根據相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分別表示線段的長，列方程求解．