Question

如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F，BG⊥AC，垂足為C，BG交AE于點H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。
∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
（2）△ABH∽△ECM。證明如下：
∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。
由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。
（3）作MR⊥BC，垂足為R，

∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。
∴∠MER=45°，CR=2MR。
∴MR=ER=。∴EM=。

（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可證得：△ABE∽△ECF。（2）由BG⊥AC，易證得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可證得△ABH∽△ECM。
（3）首先作MR⊥BC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM= 即可求得答案。