Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△AFC.

1.求過A、F、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

2.設(shè)（1）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是軸上的點(diǎn)，N是軸上的點(diǎn)，若以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)

3.若動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長度的速度從C點(diǎn)出發(fā)沿CB 向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)為何值時(shí)，以P、C、O為頂點(diǎn)的三角形與以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似？

 

Answer 1

 

1.

2.M₁（，0），N₁（0，1）；M₂（，0），N₂（0，1）

3.t=或

解析:（1）∵OA=，OC=1,∴tan∠OAC=.

∴∠OAC=30°    ∠ACF=∠ACO=60°……………………1分

過P作PE⊥OA于E，交CB于G，則FG⊥CD.

∠GCF=30°,    GF=CF=OC=.

CF= .     ∴P（，）…………………………2分

設(shè)過 A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式為.∴c=1

∴……………………………………3分

解之，得   ∴.………………4分

（2）由，得=,=.

∴E(,0)……………………………………5分

由，得=0, =.∴D(,1).………………6分

①當(dāng)DN∥EM且DN=EM時(shí)，當(dāng)M在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，M₁（，0），此時(shí)N₁（0，1）…7分

當(dāng)M在E點(diǎn)右側(cè)時(shí)，OM₂=.∴M₂（，0），此時(shí)N₂（0，1）……8分

②當(dāng)ED∥MN且ED=MN時(shí)，過D作DH⊥OA于H，M₃（，0），N₃（0，-1）……9分

（3）若以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，則有

CQ=OP或OC²=CQ·OP.

當(dāng)P、Q在y軸同側(cè)時(shí)：

由，得t=.………………………………10分

由，得  .

△=4-8=-4＜0，故無解.

當(dāng)P、Q在y軸異側(cè)時(shí)：

由，得t=3＞，不合題意，舍去………………………11分

由，得  .

＜0舍去，     ∴t=或……………………12分