Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x、y軸于點A、B，直線BC分別交x、y軸于點C、B，點A的坐標為（2，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直線BC和AB的解析式；

（2）將點B沿某條直線折疊到點O，折痕分別交BC、BA于點E、D，在x軸上是否存在點F，使得點D、E、F為頂點的三角形是以DE為斜邊的直角三角形？若存在，請求出F點坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）（﹣2，0）或（0，0）

【解析】

（1）解直角三角形求出B、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；
（2）如圖1中，根據對稱性可知，當點F與O重合時，∠EF′D=∠EBD=90°，此時F′（0，0）；設DE交OB于K，作FH⊥DE于H．當△EFD≌△DF′E時，∠EFD=∠DF′E=90°，想辦法求出OF的長即可解決問題；

解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=2，∠ABO=30°，

∴OB=2，

在Rt△OBC中，∵∠BCO=30°，OB=2，

∴OC=6，

∴B（0，2），C（6，0），

設直線AB的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+2，

設直線BC的解析式為y=k′x+b′則有，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x+2．

（2）如圖1中，根據對稱性可知，當點F與O重合時，∠EF′D=∠EBD=90°，此時F′（0，0），

設DE交OB于K，作FH⊥DE于H．當△EFD≌△DF′E時，∠EFD=∠DF′E=90°，

易證DK=EH=1，DE=AC=4，

∴KH=OF=4﹣2=2，

∴F（﹣2，0），

綜上所述，滿足條件的點F坐標為（﹣2，0）或（0，0）．