Question

如圖，等邊三角形△ABC中，D在AC上，延長BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F．
（1）如圖1，若D是AC的中點，求證：①DB=DE；②BF=EF；
（2）如圖2，若點D是邊AC上的任意一點，BF=EF是否仍然成立？請證明你的結論；
（3）如圖3，若點D是邊AC的延長線上任意一點，其它條件不變，（2）中結論是否仍然成立？畫圖并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：如圖1，
①∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
而∠DCB=∠E+∠CDE=60°，
∴∠E=30゜，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ABC=30°，
∴DB=DE；
②∵DF⊥BC，
∴BF=EF；

2）BF=EF仍然成立．理由如下：
作DM∥BC交AB于M，如圖2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠DCE=120°，
∵DM∥BC，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=60°，△AMD為等邊三角形，
∴AD=DM=AM，
∵AD=CE，
∴DM=EC，
∴AB-AM=AC-AD，
∴MB=DC，
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE，
而DF⊥BC，
∴BF=EF；
（3）（2）中的結論仍然成立．理由如下：
如圖3，作DM∥BC交AB的延長線于M，
易證△AMD為等邊三角形，
∴AM=AD=MD，∠M=60°，
而AB=AC，
∴BM=CD，
∵AD=CE，
∴MD=CE，
∵∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠M=∠ECD，
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE，
而DF⊥BC，
BF=EF．
分析：（1）根據等邊三角形的性質得∠ABC=∠ACB=60°，由CD=CE得∠E=∠CDE，再利用∠DCB=∠E+∠CDE=60°得到∠E=30゜，由DA=DC，根據等腰三角形性質得∠DAC=∠ABC=30°，根據等腰三角形的判定得DB=DE；然后根據等腰三角形的性質由DF⊥BC得到BF=EF；
（2）作DM∥BC交AB于M，根據等邊三角形的性質得∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，則∠DCE=120°，由DM∥BC得∠AMD=60°，易得△AMD為等邊三角形，則AD=DM=AM，而AD=CE，則DM=EC，所以MB=DC，利用“SAS”可判斷△BMD≌△DCE，則BD=DE，然后根據等腰三角形的性質由DF⊥BC得到BF=EF；
（3）作DM∥BC交AB的延長線于M，易證△AMD為等邊三角形，則AM=AD=MD，∠M=60°，可得到BM=CD，而AD=CE，所以MD=CE，加上∠M=∠ECD=60°，
于是可根據“SAS”判斷△BMD≌△DCE，則BD=DE，然后根據等腰三角形的性質由DF⊥BC得到BF=EF．
點評：本題考查了等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．也考查了等腰三角形的性質以及三角形全等的判定與性質．