Question

如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G．下列結論：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是正三角形；④

FG

AF

=

1

2

．其中正確的結論是

①②④

（填所有正確答案的序號）．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD，判定①正確；根據全等三角形對應角相等可得∠ACD=∠BCE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的內角和定理求出∠AFC=120°，判定②正確；求出∠FAD＜60°，判定△ADF是正三角形錯誤；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得FG=

1

2

AF，然后得到④正確．

解答：解：在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∵在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠BAC=∠B=60° AD=BE

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD，故①正確；

∠ACD=∠BCE，
∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，
在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=180°-60°=120°，故②正確；

∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠FAD≠60°，
∴△ADF不是正三角形，故③錯誤；

∵∠AFG=180°-∠AFC=180°-120°=60°，AG⊥CD，
∴∠FAG=90°-60°=30°，
∴FG=

1

2

AF，
∴

FG

AF

=

1

2

，故④正確，
綜上所述，正確的有①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質，并準確識圖是解題的關鍵．