Question

如圖，已知點A為⊙O內(nèi)一點，點B、C均在圓上，∠A=∠B=45°，∠C=30°，線段OA=

3

-1．求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：延長AO交BC于點D，連接OB，由∠A=∠ABC=45°，得到AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．根據(jù)垂徑定理得到BD=CD．在Rt△COD中，設(shè)OD=x，∠C=30°，得到OC=2x，CD=

3

x=AD，則OA=AD-OD=

3

x-x=（

3

-1）x=

3

-1，解得x=1，則OD=1，OC=2，BC=2CD=2

3

，分別利用三角形和扇形的面積公式計算S_扇形OBC，和S_△COB，然后利用S_陰影=S_扇形OBC-S_△COB計算即可．

解答：解：延長AO交BC于點D，連接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，設(shè)OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD=

3

x．
∴∠COB=120°，AD=

3

x．
∴OA=AD-OD=

3

x-x=（

3

-1）x．
而OA=

3

-1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2

3

．
∴S_陰影=S_扇形OBC-S_△COB=

120

360

π×2²-

1

2

×2

3

×1=

4

3

π-

3

．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

n•πR2

360

（n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑）．也考查了含30度得直角三角形三邊的關(guān)系和三角形的面積公式．