Question

（2003•肇慶）如圖，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE與DB交于點F，FG∥DA與AB交于點G．
求證：（1）BC=BF；（2）GB•DC=DE•BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BC=BF，可證∠BFC=∠BCF．而∠BFC=∠BDC+∠DCF，∠BCF=∠BCE+∠ECF．根據已知條件可知，∠BDC=90°-∠DCE=BCE，∠DCF=∠ECF．所以∠BFC=∠BCF，從而BC=BF．
（2）欲證GB•DC=DE•BC，由BC=BF，即證GB：DE=BF：DC，即證△GBF∽△EDC即可．
解答：證明：（1）∵∠BFC=∠BDC+∠DCF，∠BCF=∠BCE+∠ECF．四邊形ABCD為矩形．
∴∠BDC=90°-∠DCE=∠BCE．
∵CF平分∠DCE與DB交于點F．
∴∠DCF=∠ECF．
∴∠BFC=∠BCF．
∴BC=BF．

（2）∵四邊形ABCD為矩形．FG∥DA與AB交于點G，CE⊥BD于E．
∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．
∴△DEC∽△BGF．
∴GB：DE=BF：CD．
∴GB•CD=DE•BF．
∵BC=BF．
∴GB•DC=DE•BC
點評：本題主要考查矩形的性質及相似三角形的判定和性質，同時考查了等腰三角形邊角之間的關系．