Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，以點M（2，3）為圓心，5為半徑的圓交x軸于A，B兩點，過點M作x軸的垂線，垂足為D；過點B作⊙M的切線，與直線MD交于N點．
（1）求點B、點N的坐標以及直線BN的解析式；
（2）求過A、N、B、三點（對稱軸與y軸平行）的拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線與y軸交于點P，以點D，B，P三點為頂點作平行四邊形，請你求出第四個頂點Q的坐標，并判斷Q是否在（2）中的拋物線上．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據圓的方程求出點B的坐標，然后求出直線BN的解析式，即可求出點N的坐標．
（2）根據拋物線的對稱軸和點A的坐標即可求出拋物線的解析式．
（3）根據拋物線的解析式求出點P的坐標，再根據平行線的性質求出點Q的坐標，并由此判斷出Q是否在拋物線上．

解答：解：（1）連接BM
則BM=5，DM=3
BD=

BM2-DM2

=

52-32

=4
∴BO=BD-OD=4-2=2
∴點B坐標為（-2，0），
∵直線BN和BM垂直，
∴△MBD∽△MNB，
∴

MB

MN

=

MD

MB

，
∴

5

MN

=

3

5

，
∴MN=

25

3

，
∴DN=

25

3

-3=

16

3

，
∴點N的坐標是（2，-

16

3

），
設直線BN的解析式是y=kx+b（k≠0），
把B（-2，0）N（2，-

16

3

）代入函數的解析式得：

0=-2k+b - 16 3 =2k+b

，
解得k=-

4

3

，b=-

8

3

，
∴直線BN的解析式是；y=-

4

3

x-

8

3

；

（2）點A，B關于直線x=2對稱，
所以x=2就是拋物線的對稱軸那么設拋物線的方程為y=a（x-2）²-

16

3

，
將A（6，0）代入 0=16a-

16

3

，
a=

1

3

，
那么y=

1

3

（x-2）²-

16

3

=

1

3

x²-

4

3

x-4；

（3）令x=0，y=-4，
所以點P的坐標（0，-4）若構成平行四邊形，那么Q的縱坐標為-4，
設橫坐標為a，
∵AD=4，
∴a=4 點Q坐標（4，-4）將x=4代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4=-4，
Q₁（-4，-4）；Q₂（4，-4）；Q₃（0，4），
Q₂在拋物線上是Q的橫坐標，所以點Q在拋物線上．

點評：本題主要考查了拋物線的性質和解析式求法，要會根據已知條件求點的坐標并判斷出是否在拋物線上．