Question

（2006•日照）如圖，已知拋物線與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線的頂點，若m-n=-2，m•n=3．
（1）求拋物線的表達式及P點的坐標；
（2）求△ACP的面積S_△ACP．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據C點的坐標，可設拋物線的解析式為y=ax²+bx+3，根據韋達定理有m+n=-，mn=，然后聯立m-n=-2、mn=3即可求出a、b的值，也就能得出拋物線的解析式，根據拋物線的解析式可用配方法或公式法求出拋物線的頂點坐標．
（2）設直線CP與x軸的交點為D，可求出直線CP的解析式進而確定出D點的坐標，即可求得AD的長，然后將三角形ACP分成三角形ADC和APD兩部分進行求解即可．
解答：解：（1）設拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過C（0，3），
∴c=3，
又∵拋物線與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點，
∴m、n為一元二次方程ax²+bx+3=0的解，
∴m+n=-，mn=，
由已知m-n=-2，m•n=3，
∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，
∴拋物線的表達式為y=x²-4x+3，P點的坐標是（2，-1）

（2）由（1）知，拋物線的頂點P（2，-1），
設直線CP的解析式為y=kx+3，則有：
2k+3=-1，k=-2
∴直線CP的解析式為y=-2x+3．
設直線CP與x軸的交點為D，則有D（，0）
∴AD=-1=
∴S_△ACP=S_△ACD+S_△APD=×3×+×1×=1．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、韋達定理、圖形面積的求法等知識點．