Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運動，連接AD、AE，設運動時間為t秒．
（1）求AB的長；
（2）當t為多少時，△ABD的面積為10cm²？
（3）當t為多少時，△ABD≌△ACE，并簡要說明理由（可在備用圖中畫出具體圖形）．

Answer 1

分析：（1）運用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；
（3）假設△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數式表示CE和BD，得到關于t的方程，從而求出t的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=

BC

2

=4

2

cm；

（2）過A作AF⊥BC交BC于點F，則AF=

1

2

BC=4cm，
∵S_△ABD=10cm²
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B點右側，則CD=3cm，t=1.5s；
若D在B點左側，則CD=13cm，t=6.5s．

（3）動點E從點C沿射線CM方向運動2秒或當動點E從點C沿射線CM的反向延長線方向運動6秒時，△ABD≌△ACE．
理由如下：（說理過程簡要說明即可）
①當E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=

8

3

，
證明：在△ABD和△ACE中
∵

AB=AC ∠B=∠ACE=45° BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②當E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
證明：在△ABD和△ACE中
∵

AB=BC ∠ABD=∠ACE=135° BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

點評：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質及面積，綜合性強，題目難度適中．