Question

已知：如圖，AC=BC，∠ACB=90°，點B的坐標為（1，0），拋物線過A、B、C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方y軸左側的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知：△ABC是等腰直角三角形，那么OA=OB=OC=1，由此可得A、B、C三點坐標，進而可利用待定系數法求得拋物線的解析式．
（2）由于AP∥BC，則∠PAB=45°，若設點P的橫坐標為a，那么點P的縱坐標應為a+1，由于點P位于拋物線的圖象上，將點P代入拋物線的解析式中，即可確定點P的坐標；易知AB的長，可分別求出△ABP和△ABC的面積，它們的面積和即為四邊形ACBP的面積．
（3）根據A、C、P三點坐標，可求出AC、AP的長，由于∠CAP=∠MGA=90°，若以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似，那么它們的對應直角邊對應成比例，可設出點M的橫坐標，然后表示出AG、MG的長，進而可根據①△AMG∽△CPA，②△AMG∽△PCG，兩種情況下所得不同的比例線段，求出不同的點M的坐標．

解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB為等腰直角三角形；
∵點B（1，0），∴點C（0，-1），點A（-1，0），（1分）
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，（1分）
∵

a+b+c=0 a-b+c=0 c=-1

，∴

a=1 b=0 c=-1

；
∴拋物線的解析式為y=x²-1．（1分）

（2）∵OA=OB=OC=1，∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，∴∠PAB=45°；（1分）
過點P作PE⊥x軸于點E，則△APE為等腰直角三角形；
令OE=a，則PE=a+1，
∴P（a，a+1）；（1分）
∵點P在拋物線y=x²-1上，
∴a+1=a²-1，解得a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去），
∴PE=3；（1分）
∴四邊形ACBP的面積S=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•PE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4．（1分）

（3）假設存在符合條件的M點．
∵∠PAB=∠BAC=45°
∴PA⊥AC，
∵MG⊥x軸于點G，
∴∠MGA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=

2

，（1分）
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3

2

，（1分）
設M點的橫坐標為m，則M（m，m²-1），
∵點M在x軸上方y軸左側，∴m＜-1；
（1）當△AMG∽△PCA時，有

AG

PA

=

MG

CA

，
∵AG=-m-1，MG=m²-1，即

-m-1

3 2

=

m2-1

2

，
解得m₁=-1（舍去），m2=

2

3

（舍去）；（1分）
（ii）當△MAG∽△PCA時，有

MG

PA

=

AG

CA

，
即

-m-1

2

=

m2-1

3 2

，
解得m₁=-1（舍去），m₂=-2；（1分）
綜上可知，存在點M（-2，3），使△AMG與△PCA相似．（1分）

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的性質、函數圖象上點的坐標意義、相似三角形的判定和性質等重要知識；要注意的是（3）題中，一定要根據相似三角形的不同對應頂點來分類討論，以免漏解．