Question

【題目】如圖，在⊙O中，PA是直徑，PC是弦，PH平分∠APB且與⊙O交于點H，過H作HB⊥PC交PC的延長線于點B．

（1）求證：HB是⊙O的切線；

（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10．

【解析】

（1）連接OH，由題意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可證OH∥BP，則可得OH⊥BH，根據切線的判定可證HB是⊙O的切線；

（2）過點O作OE⊥PC，垂足為E，可證四邊形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根據勾股定理可求OP的長，即可得⊙O的直徑．

證明：（1）如圖，連接OH，

∵PH平分∠APB，

∴∠HPA＝∠HPB，

∵OP＝OH，

∴∠OHP＝∠HPA，

∴∠HPB＝∠OHP，

∴OH∥BP，

∵BP⊥BH，

∴OH⊥BH，

∴HB是⊙O的切線；

（2）如圖，過點O作OE⊥PC，垂足為E，

∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，

∴四邊形EOHB是矩形，

∴OE＝BH＝4，OH＝BE，

∴CE＝OH﹣2，

∵OE⊥PC

∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，

在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，

∴OP2＝（OP﹣2）2+16

∴OP＝5，

∴AP＝2OP＝10，

∴⊙O的直徑是10．