Question

已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，-1），點P是拋物線y=x²上的一個動點．
（1）求證：以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1的相切；
（2）設直線PM與拋物線y=x²的另一個交點為點Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據拋物線的解析式設出P點的坐標，那么可得出PM的長的表達式，P點到y=-1的長就是P點的縱坐標與-1的差的絕對值，那么可判斷得出的表示PM和P到y=-1的距離的兩個式子是否相等，如果相等，則y=-1是圓P的切線．
（2）可通過構建相似三角形來求解，過Q，P作QR⊥直線y=-1，PH⊥直線y=-1，垂足為R，H，那么QR∥MN∥PH，根據平行線分線段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例關系式可寫成QR：PH=RN：NH，而這兩組對應成比例的線段的夾角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根據等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．
解答：解：（1）設點P的坐標為（x，x²），則
PM==x²+1；
又因為點P到直線y=-1的距離為，x²-（-1）=x²+1
所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1相切．

（2）如圖，分別過點P，Q作直線y=-1的垂線，垂足分別為H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因為PH，MN，QR都垂直于直線y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是=，
所以，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，從而∠PNM=∠QNM．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，平行的性質以及二次函數和一次函數的綜合應用．
（2）中通過構建相似三角形來求角相等是解題的關鍵．