Question

如圖，AB是⊙O的弦，點D是半徑OA上的動點（與點A、O不重合），過點D垂直于OA的直線交⊙O于點E、F，交AB于點C．
（1）點H在直線EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切線嗎？請說明理由；
（2）連接AE、AF，如果=，并且CF=16，FE=50，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90°，∠OBA+∠HBA=90°，再根據切線的判定定理得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出，即AF²=CF•FE，求出即可．
解答：解：（1）HB是⊙O的切線，理由如下：
連接OB．
∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC，
又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，
∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠OAB=90°，
∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°，
∴HB⊥OB，
∴HB是⊙O的切線；
             
（2）∵=，
∴∠FAB=∠AEF，
又∵∠AFE=∠CFA，
∴△AFE∽△CFA，
∴，
∴AF²=CF•FE，
∵CF=16，FE=50，
∴AF==20．
點評：此題主要考查了切線的判定定理以及相似三角形的判定與性質和勾股定理等知識，正確利用常用輔助線連接BO得出∠OBA+∠HBA=90°是解題關鍵．