Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過原點，頂點為A（s，t）（s≠0）．
（1）當s=2時，t=1時，求拋物線對應的二次函數的表達式；
（2）若（1）中的拋物線與x軸交于點B，過B作OA的平行線交拋物線于點D，求△BDO三條高的和；
（3）當點A在拋物線y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知A（2，1），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，

由于拋物線過原點，

∴將（0，0）代入y=a（x﹣2）2+1，

∴解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ （x﹣2）2+1

（2）解：令y=0代入y=﹣ （x﹣2）2+1，

∴解得x=4或x=0，

∴B（4，0）

設直線OA的解析式為：y=kx，

將A（2，1）代入y=kx，

∴k= ，

∵BD∥OA，

∴設直線BD的解析式為：y= x+m，

將B（4，0）代入y= x+m，

∴m=﹣2

∴直線BD的解析式為：y= x﹣2

聯立

解得：x=4或x=﹣2

∴D（﹣2，﹣3）

∴由勾股定理可知：OD= ，BD=3 ，

設OB、OD、BD邊上的高分別為h1，h2，h3，

∴h1=3

又∵OB=4，

∴S△BDO= OBh1=6，

∴ BDh3= ODh2=6，

∴h2= ，h3= ，

∴△BDO三條高的和h1+h2+h3=3+ +

（3）解：由題意可知：t=s2﹣s，

∵A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點，

∴y=a（x﹣s）2+t，

又因為該拋物線經過原點，

∴0=as2+t，

∴0=as2+s2﹣s，

∴s=（a+1）s2，

當s=0時，

此時，a全體實數，

當s≠0時，此時﹣1≤s＜0或0＜s＜2，

∴a= ，

∴a≤﹣2或a＞﹣ ，

綜上所述，a≤﹣2或a＞﹣

【解析】（1）由題意可知A（2，1），設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，由于拋物線過原點，所以將（0，0）代入即可求出a的值．（2）根據A（2，1）可求出OA的直線解析式，由于DB∥OA，所以一次項系數必定相等，從而可求出直線BD的解析式，聯立直線BD與拋物線的解析式即可求出D的坐標，然后根據勾股定理分別求出OD、BD的長度，再求出BOD的面積即可求出△BDO三條高的和．（3）t=s2﹣s，由于A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點，所以y=a（x﹣s）2+t，將（0，0）代入該式后可得s=（a+1）s2 ， 利用s的范圍即可求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．