Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標是（2，-1），且經過點A（5，8）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與y軸相交于點B，與x軸相交于C、D兩點（點C在點D的左邊），試求點B、C、D的坐標；
（3）設點P是x軸任一點，連接AP、BP．試求當AP+BP取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式將頂點坐標（2，-1）代入，進而求出a的值即可；
（2）利用圖象與坐標軸交點求法，分別求出即可；
（3）首先利用B點對稱點B′（0，-3），連接AB′交x軸于點P，利用軸對稱得出AP+BP的最小值為線段AB′進而利用待定系數法求出解析式，即可得出P點坐標．

解答：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
∵拋物線經過A（5，8），∴8=a（5-2）²-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B （0，3 ）
令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
進而得出（1，0 ），D （3，0 ）；

（3）取點B關于x軸的對稱點B′（0，-3），連接AB′交x軸于點P．
則PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′為直線段，∴AP+BP的最小值為線段AB′．
設直線AB′的解析式為y=kx+b過點A（5，8）和B′（0，-3），
∴

8=5k+b -3=b

，
解得：

k= 11 5 b=-3

，得AB′的解析式為：y=

11

5

x-3，
當y=0時，x=

15

11

，
∴點P的坐標為（

15

11

，0）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及待定系數法求一次函數解析式以及軸對稱的性質等知識，根據已知得出P點位置是解題關鍵．