Question

如圖，是二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，
給出下列命題：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0
④ax²+bx+c=0的兩根分別為-3和1；
⑤8a+c＞0．其中正確的命題是    ．

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號；然后結合對稱軸判斷b的符號；根據拋物線的對稱軸、拋物線與x的一個交點可以推知與x的另一個交點的坐標；由二次函數圖象上點的坐標特征可以推知x=1滿足該拋物線的解析式．
解答：解：①根據拋物線是開口方向向上可以判定a＞0；
∵對稱軸x=-=-1，
∴b=2a＞0；
∵該拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0；
故本選項正確；

②由①知，b=2a；
故本選項錯誤；

③∵該拋物線與x軸交于點（1，0），
∴x=1滿足該拋物線方程，
∴a+b+c=0；
故本選項正確；

④設該拋物線與x軸交于點（x，0）），
則由對稱軸x=-1，得=-1，
解得，x=-3；
∴ax²+bx+c=0的兩根分別為-3和1；
故本選項正確；

⑤根據圖示知，當x=-4時，y＞0，
∴16a-4b+c＞0，
由①知，b=2a，
∴8a+c＞0；
故本選項正確；
綜合①②③④⑤，上述正確的①③④⑤；
故答案是：①③④⑤．
點評：本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．