Question

如圖，頂點為P （4 ，-4 ）的二次函數圖象經過原點（0 ，0 ），點A 在該圖象上，OA 交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON。
（1）求該二次函數的關系式；
（2）若點A的坐標是（6，-3），求△ANO的面積；
（3）當點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：
①證明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標，如果不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1 ）∵二次函數圖象的頂點為P （4 ，-4 ）， ∴設二次函數的關系式為，                   又∵二次函數圖象經過原點（0，0）， ∴，解得，                   ∴二次函數的關系式為，即，             （2）設直線OA的解析式為y=kx，將A（6，-3）代入得-3=6k，解得，                 ∴直線OA的解析式為，   把x=4代入得y=-2， ∴M（4，-2）， 又∵點M 、N 關于點P 對稱， ∴N （4 ，-6 ），MN=4 ， ∴； （3）①證明：過點A作AH⊥l于點H，，l與x軸交于點D。則，設A（）， 則直線OA 的解析式為， 則M（），N（），H（）。 ∴OD=4，ND=x0，HA=，NH=。 ∴， ∴， ∴∠ANM=∠ONM； ②不能。理由如下：分三種情況討論： 情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450， ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。 整理，得，解得， ∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角。 情況2，若∠AON是直角，則， ∵ ， ∴， 整理，得，解得。 ∴此時，故點A與原點或與點P重合。故此時不存在點A，使∠AON是直角。 情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON， ∴， ∵OD=4，MD=，ND=， ∴， 整理，得， 解得， ∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角， 綜上所述，當點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，△ANO不能成為直角三角形。