Question

如圖，頂點為D的拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，連接BC，已知tan∠ABC=1．
（1）求點B的坐標及拋物線y=x²+bx-3的解析式；
（2）在x軸上找一點P，使△CDP的周長最小，并求出點P的坐標；
（3）若點E（x，y）是拋物線上不同于A，B，C的任意一點，設以A，B，C，E為頂點的四邊形的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）欲求點B的坐標，由tan∠ABC=1，知OB=OC，只需知道C點的坐標，根據拋物線的解析式知C（0，-3），從而可求點B的坐標．把點B的坐標代入y=x²+bx-3，求出b的值．
（2）CD的長一定，可找C點關于x軸的對應點C′，則有CP=C′P，CP+PD最短，即D、P、C′三點一線，根據平行線的性質得出△CDP的周長最小的點P的坐標；
（3）當E在第一象限或第二象限時，四邊形ABCE的面積=S_△ABC+S_△AEB；當E在第三象限，四邊形ABCE的面積=S_△BOC+S_△AOE+S_△COE；當E在第四象限，四邊形ABCE的面積=S_△AOC+S_△OCE+S_△BOE，分別得出S與x之間的函數關系式及取值范圍．

解答：解：（1）∵tan∠ABC=1，
∴OC：OB=1，
∴OB=OC=3，
∴B（3，0），
把B（3，0）代入y=x²+bx-3，得9+3b-3=0，b=-2，
∴y=x²-2x-3；

（2）P（

3

7

，0），
頂點橫坐標=2÷（2×1）=1，
縱坐標=[4×1×（-3）-（-2）×（-2）]÷4×1=-4，
D（1，-4）
∵△CED∽△C′OP，
∴

C′O

C′E

=

AP

ED

，
∴

3

7

=

OP

1

，
∴P（

3

7

，0）．

（3）當E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6（0＜x＜3），
當E在第三象限，S=-

1

2

x²-

1

2

x+6（-1＜x＜0），
當E在第一象限或第二象限，S=2x²-4x（x＜-1或x＞3）．

點評：本題考查了三角函數的知識，及代入法求二次函數，同時考查了圖形的周長和面積的計算，注意某個圖形無法解答時，常常利用圖形間的“和差“關系求解．