Question

如圖，以△ABC邊AB，AC向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點O，連接AO．
①猜想∠AOD與∠AOE的數量關系，并證明；
②求∠AOD的度數．

Answer 1

分析：①過A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，根據等邊三角形性質得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，求出∠DAC=∠BAE，證△DAC≌△BAE，推出BE=DC和 三角形面積相等，得出高相等，即可得出答案；
②求出∠AEB=∠ACD，根據三角形的內角和定理求出∠EOC=∠EAC=60°，即可求出答案．

解答：①∠AOD=∠AOE，
證明：過A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，S_△DAC=S_△BAE，
∴AQ=AN，即點A到BE和DC的距離相等．
∴AO平分∠DOE（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）；

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠AME=∠BMC，∠EAC+∠AEC+∠AME=180°，∠BCM+∠MBC+∠BMC=180°，∠EAC=60°，
∠EOC=∠EAC=60°，
∵由①知∠AOD=∠AOE，
∴∠AOD=

1

2

（180°-60°）=60°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的應用，關鍵是推出△DAC≌△BAE．