Question

如圖，已知對稱軸為x=-的拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA=3，D是拋物線上一點，且DC⊥OC．
（1）求點D的坐標及拋物線y=ax²+bx+c的表達式；
（2）連接OD，直線y=x+m與OD交于點E，與y軸交于點F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直線EF上一動點，在x軸上方是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線對稱軸得到關于a、b的一個方程，再把點A點坐標代入拋物線解析式，然后解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出拋物線y=-x²-x+6與y軸交點C的坐標為（0，6），將y=6代入，求出x的值，得到D點坐標及DC=3，再過點E作EG⊥y軸于點G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根據相似三角形對應邊成比例得出===，求出EG，OG的值，得出E點坐標，然后將E點坐標代入y=x+m，即可求出m的值；
（3）分兩種情況進行討論：①OF為菱形的邊時，延長M₁N₁交x軸于點G₁，則M₁N₁⊥x軸．設點M₁的坐標為（a，a+），則點N₁的坐標為（a，a），在Rt△OG₁N₁中，運用勾股定理得出OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，列出關于a的方程，解方程即可，同理求出點N₂的坐標；②OF為菱形的對角線時，連接M₃N₃，交OF于點P，根據菱形的性質可知M₃N₃與OF互相垂直平分，則OP=OF=，將y=代入y=x+，求出x的值，進而得到點N₃的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-，經過點A（3，0），
∴，解得，
∴拋物線解析式為y=-x²-x+6；

（2）∵y=-x²-x+6，
∴x=0時，y=6，即C點坐標為（0，6），
∴當y=6時，-x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D點坐標為（-3，6），DC=3．
如圖，過點E作EG⊥y軸于點G，則EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴===，
∴EG=DC=1，OG=OC=2，
∴E點坐標為（-1，2）．
將E點坐標代入y=x+m，
得2=-+m，
解得m=；

（3）若M是直線EF上一動點，在x軸上方存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形．
分兩種情況：
①如圖，OF為菱形的邊時，如果OF=FM₁=M₁N₁=N₁O=，
延長M₁N₁交x軸于點G₁，則M₁N₁⊥x軸．
∵點M₁在直線y=x+上，
∴設點M₁的坐標為（a，a+）（a＞0），則點N₁的坐標為（a，a），
在Rt△OG₁N₁中，OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，
即：a²+（a）²=（）²，
整理得：a²=5，
∵a＞0，
∴a=，
∴點N₁的坐標為（，）；
同理，求得點M₂的坐標為（-2，）（a＞0），則點N₂的坐標為（-2，4）；
②如圖，OF為菱形的對角線時，連接M₃N₃，交OF于點P，則M₃N₃與OF互相垂直平分，
∴OP=OF=，
∴當y=時，x+=，
解得：x=-，
∴點M₃的坐標為（-，），
∴點N₃的坐標為（，）．
綜上所述，x軸上方的點N有3個，分別為N₁（，），N₂（-2，4），N₃（，）．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質、菱形的性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．