Question

如圖，在直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點A作CA⊥AB，CA=，并且作CD⊥x軸．
（1）求證：△ADC∽△BOA；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c經過B、C兩點．
①求拋物線的解析式；
②該拋物線的頂點為P，M是坐標軸上的一個點，若直線PM與y軸的夾角為30°，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵CD⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠BAO+∠CAD=90°
∵CD⊥x軸
∴∠CDA=90°
∴∠C+∠CAD=90°
∴∠C=∠BAO
又∵∠CDO=∠AOB=90°
∴△ADC∽△BOA；

（2）①由題意得，A（-8，0），B（0，4）
∴OA=8，OB=4，AB=
∵△ADC∽△BOA，CA=
∴AD=2，CD=4
∴C（-10，4）
將B（0，4），C（-10，4）代入y=-x²+bx+c
∴．
∴y=-x²-10x+4
②M₁（0，），M₂（0，），M₃（，0），M₄（，0）．
分析：（1）根據互余關系易得∠C=∠BAO，又有∠CDO=∠AOB=90°，易得△ADC∽△BOA；
（2）①由題意得，A、B的坐標，結合（1）的結論，得到AD、CD的長，進而可得拋物線的解析式；
②根據P的坐標及三角函數的意義，易得點M的坐標．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．