Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，且AD=BD．
（1）試說明：△ABC∽△DBA；
（2）若，，求BC的長；
（3）若，求∠C的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等邊對等角，可得∠B=∠C，∠B=∠DAB，即可求得△ABC∽△DBA；
（2）由相似三角形的對應邊成比例，即可求得BC的長；
（3）由三角函數的性質，可求得∠B的值，即可求得∠C的值．
解答：解：（1）∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠C=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴，
即，
∴；

（3）設AD=a，則BC=3a，BD=a，
作AH⊥BC于點H，則H為BC的中點，
∴DH=BH-BD=，
在Rt△ADH中，，
∴∠ADH=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°．
點評：此題考查了等腰三角形中的等邊對等角定理，以及相似三角形的判定與性質和三角函數的性質．此題綜合性較強，但難度不大，解題時要注意細心．