Question

在平面上，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O，且滿足AB=CD．有下列四個條件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）

AO

CO

=

DO

BO

；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一個條件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，這樣的條件可以是

 

．（請填寫符合條件的序號）

Answer 1

分析：根據所給條件分別結合（1）、（2）、（3）、（4）進行推理論證．

解答：解：如右圖所示，
（1）若OB=OC，結合AB=CD，不能證明△ABC≌△DCB，也不能證明△AOB≌△DOC，更不能證明△AOB∽△DOC，
故此選項錯誤；

（2）若AD∥BC，四邊形ABCD是梯形，則△AOD∽△COB，于是

OA

OC

=

OD

OB

，結合∠AOB=∠DOC，
可知△AOB∽△COD，那么∠BAC=∠CDB，
若四邊形ABCD是平行四邊形，則∠BAC≠∠CDB，所以此選項錯誤；


（3）∵

AO

CO

=

DO

BO

，則

AO

DO

=

CO

BO

且∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴∠BAC=∠CDB，故此選項正確；

（4）∵∠OAD=∠OBC，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OB

=

OD

OC

，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，故此選項正確．
故答案為：（3）（4）．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質．解題的關鍵是看能否證明全等或相似．