Question

已知△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20．
（1）寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數關系式，并求出面積為48時BC的長；
（2）當BC多長時，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
（3）當△ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說出理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明．

Answer 1

解：（1）由題意，得
y==-x²+10x，
當y=48時，-x²+10x=48，
解得：x₁=12，x₂=8，
∴面積為48時，BC的長為12或8；

（2）∵y=-x²+10x，
∴y=-（x-10）²+50，
∴當x=10時，y_最大=50；

（3）△ABC面積最大時，△ABC的周長存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面積最大時，BC=10，BC邊上的高也為10
過點A作直線L平行于BC，作點B關于直線L的對稱點B′，
連接B′C 交直線L于點A′，再連接A′B，AB′
則由對稱性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
當點A不在線段B′C上時，則由三角形三邊關系可得：
△ABC的周長=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
當點A在線段B′C上時，即點A與A′重合，這時△ABC的周長=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此當點A與A′重合時，△ABC的周長最小；
這時由作法可知：BB′=20，∴B′C==10，∴△ABC的周長=10+10，
因此當△ABC面積最大時，存在其周長最小的情形，最小周長為10+10．
分析：（1）先表示出BC邊上的高，再根據三角形的面積公式就可以表示出表示y與x之間的函數關系式，當y=48時代入解析式就可以求出其值；
（2）將（1）的解析式轉化為頂點式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面積最大時，BC=10，BC邊上的高也為10過點A作直線L平行于BC，作點B關于直線L的對稱點B′，連接B′C 交直線L于點A′，再連接A′B，AB′，根據軸對稱的性質及三角形的周長公式就可以求出周長的最小值．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數的解析式的運用，一元二次方程的解法和頂點式的運用，軸對稱的性質的運用，在解答第三問時靈活運用軸對稱的性質是關鍵．