Question

已知△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20．
（1）寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積為48時BC的長；
（2）當(dāng)BC多長時，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說出理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明．

Answer 1

解：（1）由題意，得 y= =﹣x²+10x，當(dāng)y=48時，﹣x²+10x=48，解得：x₁=12，x₂=8， ∴面積為48時BC的長為12或8；
（2）∵， ∴y=﹣ （x﹣10）²+50，
∴當(dāng)x=10時，y最大=50；
（3）△ABC面積最大時，△ABC的周長存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面積最大時，BC=10，BC邊上的高也為10 過點A作直線L平行于BC，作點B關(guān)于直線L的對稱點B′，
連接B′C 交直線L于點A′，再連接A′B，AB′
則由對稱性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
當(dāng)點A不在線段B′C上時，則由三角形三邊關(guān)系可得：
△ABC的周長=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
當(dāng)點A在線段B′C上時，即點A與A′重合，
這時△ABC的周長=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此當(dāng)點A與A′重合時，△ABC的周長最小；
這時由作法可知：BB′=20，
∴B′C= ，
∴△ABC的周長=，
因此當(dāng)△ABC面積最大時，存在其周長最小的情形，最小周長為．