Question

如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=30°，OP=3

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，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為

 

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Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小．

解答：解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3

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，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=3

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∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3

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點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．