Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B兩點間的距離為：AB=我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2，在平面直角坐標系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，當⊙O的半徑為r時，⊙O的方程可寫為：x2+y2=r2．

問題拓展：如果圓心坐標為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為　 　．

綜合應用：

如圖3，⊙P與x軸相切于原點O，P點坐標為（0，6），A是⊙P上一點，連接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點B，連接AB．

①證明：AB是⊙P的切線；

②是否存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q？若存在，求Q點坐標，并寫出以Q為圓心，以OQ為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；①證明見解析；②存在，Q（3，3），（x﹣3）2+（y﹣3）2=36．

【解析】試題分析：問題拓展：直接根據圓的定義即可得出結論；

綜合應用：①先判斷出△POB≌△PAB，即可得出結論；

②先得出點Q是BP中點，再根據含30°角的直角三角形的性質確定出點B的坐標，進而得出點Q的坐標，

解：問題拓展：根據圓的定義得，（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

故答案為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

綜合應用：①∵PO=PA PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

在△POB和△PAB中，

∴△POB≌△PAB，

∴∠PAB=∠POB=90°，

∴PA⊥AB

∴AB是⊙P的切線，

②存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q，

當點Q在線段BP中點時

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=QA=QB

∴此時點Q到四點O，P，A，B距離都相等

∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°

∴∠PBO=30°．

∴在Rt△POB中，OP=6，

∴OB=OP=6，PB=2PO=12

∴B點坐標為（6，0），

∵Q是PB中點，P（0，6），B（6，0），

∴Q點坐標為（3，3）

∴OQ=PB=6

∴以Q為圓心，OQ為半徑的⊙Q的方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=36．