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若a、b為整數,且x2-x-1是ax17+bx16+1的因式,則a的值為
 
分析:由x2-x-1是ax17+bx16+1的因式,可得當x2-x-1=0時,ax17+bx16+1=0,所以可設x1,x2是x2-x-1=0的兩根,即可得方程組:
a
x
17
1
+b
x
16
1
+1=0   ①
a
x
17
2
+b
x
16
2
+1=0    ②
,然后可消去b,根據根與系數的關系,即可得a(x1-x2)=x116-x216,再利用因式分解的知識,即可求得a的值.
解答:解:∵x2-x-1是ax17+bx16+1的因式,
∴當x2-x-1=0時,ax17+bx16+1=0,
設x1,x2是x2-x-1=0的兩根,
∴x1+x2=1,x1•x2=-1,
a
x
17
1
+b
x
16
1
+1=0   ①
a
x
17
2
+b
x
16
2
+1=0    ②

①×x216-②×x116得:ax117x216+x216-(ax217x116+x116)=0,
∴a(x1-x2)=x116-x216
∴a=(x18+x28)(x14+x24)(x12+x22)(x1+x2),
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=3,
同理可得:x14+x24=9-2=7,x18+x28=49-2=47,
∴a=47×7×3×1=987.
故答案為:987.
點評:此題考查了因式定理,一元二次方程根與系數的關系,方程組的解法以及因式分解的知識.此題綜合性很強,難度較大,解題的關鍵是注意方程思想,整體思想與因式分解方法的應用.
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