Question

小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．
（1）設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

Answer 1

（1）由題意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，即w=-10x²+700x-10000（20≤x≤32）

（2）對于函數w=-10x²+700x-10000的圖象的對稱軸是直線x=-

700

2×(-10)

=35．
又∵a=-10＜0，拋物線開口向下．∴當20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，
∴當x=32時，W=2160
答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．

（3）取W=2000得，-10x²+700x-10000=2000
解這個方程得：x₁=30，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下．
∴當30≤x≤40時，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴當30≤x≤32時，w≥2000．
設每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∵k=-200＜0，
∴P隨x的增大而減小．
∴當x=32時，P的值最小，P_最小值=3600．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．