Question

對于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點(diǎn)，以|A_nB_n|表示該兩點(diǎn)間的距離，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值為（　　）

• A、

  2010

  2011

• B、

  2012

  2011

• C、

  2011

  2010

• D、

  2011

  2012

Answer 1

分析：當(dāng)n=1時(shí)，y=x²-

3

2

x+

1

2

，設(shè)y=x²-

3

2

x+

1

2

=0的兩根式a，b，則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

1

2

=1-

1

2

，同法求出當(dāng)n=2時(shí)，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，當(dāng)n=3 時(shí)，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，當(dāng)n=2011 時(shí)，A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

×

1

2012

=

1

2011

-

1

2012

，相加即可求出答案．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，y=x²-

3

2

x+

1

2

，設(shè)y=x²-

3

2

x+

1

2

=0的兩根式a，b，
則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

，
當(dāng)n=2時(shí)，y=x²-

5

6

x+

1

6

，同法可求出：A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，
當(dāng)n=3 時(shí)，y=x²-

7

12

x+

1

12

，同法可求出：A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，
…
當(dāng)n=2011 時(shí)，y=x²-

4023

2011×2012

x+

1

2011

×

1

2012

，同法可求出：A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

×

1

2012

=

1

2011

-

1

2012

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查對拋物線與X軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)所得的數(shù)據(jù)找出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．