Question

如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．
（1）求證：直線PB與⊙O相切；
（2）PO的延長線與⊙O交于點E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，作OD⊥PB于D點．證明OD=OC即可．根據角的平分線性質易證；
（2）設PO交⊙O于F，連接CF．根據勾股定理得PO=5，則PE=8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據勾股定理求解CE．

解答：（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴OC⊥PA．
∵點O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直線PB與⊙O相切；

（2）解：設PO交⊙O于F，連接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直徑，
∴∠ECF=90°．
設CF=x，則EC=2x．
則x²+（2x）²=6²，
解得x=

6

5

5

．
則EC=2x=

12

5

5

．

點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的性質．注意：當不知道直線與圓是否有公共點而要證明直線是圓的切線時，可通過證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，來解決問題．