Question

如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．
（1）求證：直線PB也與⊙O相切；
（2）又PO的延長線與⊙O交于點Q，若⊙O的半徑為3，PC=4，求△PCQ的面積．

Answer 1

分析：（1）過點O作OD⊥PB于點D，連接OC，證明OD=OC即可；
（2）過點C作CH⊥OP，利用勾股定理求出OP的值，再利用面積定值求出CH的值，進而求出三角形PCQ的面積．

解答：（1）證明：過點O作OD⊥PB于點D，連接OC，
∵PA切⊙O于點C，
∴OC⊥PA，
又∵點O在∠APB的角平分線上，
∴OC=OD，即OD的長等于⊙O的半徑，
∴PB與⊙O相切；

（2）過點C作CH⊥OP于點H，
在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，
∴OP=

OC 2+PC 2

=5，
∵

1

2

OC×PC=

1

2

OP×CH=S_△PCO，
∴CH=

PC×OC

OP

=

4×3

5

=

12

5

，
∴S_△PCQ=

1

2

×PQ×CH=

1

2

×8×

12

5

=

48

5

．

點評：本題考查了切線的判定方法和勾股定理的運用以及三角形面積公式的應用．