Question

如圖，在正方形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，BM=BN，BP⊥CM于點P，連接PD、PN．
（1）求證：

BP

PC

=

BN

DC

；
（2）若tan∠DCM=

5

2

，且△PBN的面積為1，求△PDC的面積．

Answer 1

分析：（1）由在正方形ABCD中，BP⊥CM，易證得△BPM∽△CPB，又由BM=BN，BD=DC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得

BP

PC

=

BN

DC

；
（2）易證得△PBN∽△PCD，又由tan∠DCM=

5

2

，易得

BC

BM

=

5

2

，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得△PDC的面積．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，BC=DC，
∴∠MBP+∠PBC=90°．
∵BP⊥CM，
∴∠PBC+∠BCP=90°．
∴∠MBP=∠BCP，
又∵∠BPM=∠CPB=90°，
∴△BPM∽△CPB，
∴

BP

PC

=

BM

BC

，
∵BC=DC，BM=BN，
∴

BP

PC

=

BN

DC

；

（2）解：∵正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠MBP+∠PBN=∠BCP+∠PCD．
又∵∠MBP=∠BCP，
∴∠PBN=∠PCD，
∵

BP

PC

=

BN

DC

．
∴△PBN∽△PCD，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCM=∠BMC，
∵tan∠DCM=

5

2

，
∴tan∠BMC=

5

2

，
在Rt△MBC中，即

BC

BM

=

5

2

；
∵BC=DC，BM=BN，
∴

DC

BN

=

5

2

，
∴

S△PBN

S△PCD

=(

BN

DC

)2，
∵S_△PBN=1，
∴S_△PCD=

25

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．