Question

如圖，將在Rt△ABC繞其銳角頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到在Rt△ADE，連接BE，延長DE、BC相交于點(diǎn)F，則有∠BFE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形．
（1）判斷△ABE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）用含b代數(shù)式表示四邊形ABFE的面積；
（3）求證：a²+b²=c²．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，AB=AE，即可得出△ABE的形狀；
（2）利用四邊形ABFE的面積等于正方形ACFD面積，即可得出答案；
（3）利用四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進(jìn)而證明即可．

解答：（1）△ABE是等腰直角三角形，
證明：∵Rt△ABC繞其銳角頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到在Rt△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，
又∵AB=AE，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四邊形ABFE的面積等于正方形ACFD面積，
∴四邊形ABFE的面積等于：b ²．

（3）∵S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2=

1

2

c2+

1

2

（b+a）（b-a），
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形面積求法和勾股定理的證明等知識，根據(jù)已知得出S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE是解題關(guān)鍵．